Собственные векторы и собственные значения матриц

9.4. Собственные векторы и собственные значения матриц

Вторая по частоте применения задача вычислительной линейной алгебры — это задача поиска собственных векторов х и собственных значений X матрицы А, т. е. решения матричного уравнения Ах=Хх. Такое уравнение имеет решения в виде собственных значений L1L2,... и соответствующих им собственных векторов x1, х2,... Для решения таких задач на собственные векторы и собственные значения в Mathcad встроено несколько функций, реализующих довольно сложные вычислительные алгоритмы:

• eigenvais(A) — вычисляет вектор, элементами которого являются собственные значения матрицы А;
• eigenvecs(A) — вычисляет матрицу, содержащую нормированные собственные векторы, соответствующие собственным значениям матрицы А;
• n-й столбец вычисляемой матрицы соответствует собственному вектору n-го собственного значения, вычисляемого eigenvais;
• eigenvec(A,A.) — вычисляет собственный вектор для матрицы А и заданного собственного значения L;
• А — квадратная матрица.

Применение этих функций иллюстрирует листинг 9.36. Проверка правильности нахождения собственных векторов и собственных значений приведена в листинге 9.37. Причем проверка правильности выражения Ах=Lх проведена дважды — сначала на числовых значениях х и L, а потом путем перемножения соответствующих матричных компонентов.