Решение задачи о собственных колебаниях струны

Листинг 12.5. Решение задачи о собственных колебаниях струны

В первых двух строках листинга определяются функции, входящие в задачу, в том числе р'(х):=о, и границы расчетного интервала (0,1). В третьей строке дается начальное приближение к собственному значению А0, в четвертой вводится система ОДУ. Обратите внимание, что она состоит не из двух, а из трех уравнений. Первые два из них определяют эквивалентную систему ОДУ первого порядка, а третье необходимо для задания собственного значения в виде еще одного компонента у2 искомого вектора у. Поскольку, по определению, собственное значение постоянно при всех х, то его производная должна быть приравнена нулю, что отражено в последнем уравнении. Важно также, что во втором из уравнений собственное значение записано как у2, поскольку является одним из неизвестных.

В следующих двух строках листинга задается левое граничное условие, включающее и недостающее условие на собственное значение для третьего уравнения, и правое граничное условие у0=о. В предпоследней строке листинга обычным образом применяется функция sbval, а в последней выводится результат ее работы вместе с известным аналитически собственным значением n2 pi2. Как легко убедиться, мы нашли первое собственное значение для n=1, а чтобы найти другие собственные значения, необходимо задать другие начальные приближения к ним (в третьей строке листинга 12.5). Например, выбор Lо=50 приводит ко второму собственному значению 22 pi2, Lо=50 — к третьему 32 pi2.

Чтобы построить график соответствующей собственной функции, надо добавить в листинг строку, программирующую решение задачи Коши, например, такую: u:=rkfixed(load(a,A), а, b, 100, D). Полученные кривые показаны на рис. 12.6 в виде коллажа трех графиков, рассчитанных для трех собственных значений.

Примеры решения нескольких задач на собственные значения можно найти в разделе Mathcad Resources.