Двумерное динамическое уравнение

Рассмотрим следующее параболическое уравнение в частных производных, зависящее от трех переменных — двух пространственных х и у, а также от времени t:

Выражение в скобках в правой части уравнения (сумму вторых пространственных производных функции u часто, ради краткости, обозначают при помощи оператора Лапласа: du).

Это уравнение называется двумерным уравнением теплопроводности или, по-другому, уравнением диффузии тепла. Оно описывает динамику распределения температуры u(x,y,t) на плоской поверхности (например, на металлической пластине) в зависимости от времени (рис. 13.1). Физический смысл коэффициента в, который, вообще говоря, может быть функцией как координат, так и самой температуры, заключается в задания скорости перетекания тепла от более нагретых областей в менее нагретые. Функция ф(х,у,t,u) описывает приток тепла извне, т.е. источники тепла, которые также могут зависеть как и от пространственных координат (что задает локализацию источников), так и от времени и температуры и.