Нелинейное уравнение

Намного более интересные решения можно получить для нелинейного уравнения теплопроводности, например с нелинейным источником тепла Ф(u)=103(u-u3). Заметим, что в листинге 13.1 мы предусмотрительно определили коэффициент диффузии и источник тепла в виде пользовательских функций, зависящих от аргумента и, т. е. от температуры (если бы собирались моделировать явную зависимость их от координат, то следует ввести в пользовательскую функцию в качестве аргумента переменную х, как это сделано для источника тепла ф). Поэтому нет ничего проще замены определения этих функций с констант D(u)=1 и ф(х,u)=0 на новые функции, которые станут описывать другие модели диффузии тепла. Начнем с того, что поменяем четвертую строку листинга 13.1 на ф(х,u)=103(u-u3), не изменяя пока постоянного значения коэффициента диффузии.

С физической точки зрения зависимость коэффициента диффузии и функции источника тепла от температуры означает, что эти параметры будут меняться от точки к точке среды, определяясь локальными значениями текущей температуры в этих точках. Ввод ненулевого источника тепла означает, что среда получает определенное количество тепла, тем большее, чем больше локальная температура. Можно догадаться, что введение такой зависимости может моделировать, в частности, горение среды.

Если осуществить расчеты с упомянутым источником (имеющим кубическую нелинейность), то получится очень интересное решение уравнения теплопроводности, имеющее профиль тепловых фронтов. С течением времени граница раздела высокой и низкой температуры распространяется в обе стороны от зоны первичного нагрева, оставаясь весьма четко выделенной (рис. 13.8).

Еще более неожиданные решения возможны при нелинейности также и коэффициента диффузии. Например, если взять квадратичный коэффициент диффузии D(x,u)=u2 (что с учетом его умножения на неизвестные функции создаст кубическую нелинейность уравнения), а также ф(х,u)=103u3 5, то Вы сможете наблюдать совсем иной режим горения среды. В отличие от рассмотренного эффекта распространения тепловых фронтов, горение оказывается локализованным в области первичного нагрева среды, причем, температура в центре нагрева со временем возрастает до бесконечной величины (рис. 13.9). Такое решение описывает так называемый режим горения «с обострением».