Устойчивость



Устойчивость

Как мы убедились, явная разностная схема Эйлера дает вполне разумные результаты и вполне может использоваться для практического моделирования задач, связанных с решением уравнений в частных производных. Однако теперь пришло время сказать об очень важной характеристике разностных схем, которая называется их устойчивостью. Не вдаваясь в детали, заметим, что производить расчеты можно только при помощи устойчивых разностных схем, а чтобы пояснить это понятие, обратимся вновь к листингу 13.1, реализующему явную схему для линейного уравнения диффузии.

Слегка изменим соотношение шагов по времени и пространственной координате, произведя расчеты сначала с т=0.0005 (эти результаты показаны на рис. 137 выше) и также с т=0.0010 и т=0.0015. Результат применения разностной схемы Эйлера для т=0.0010 примерно тот же, что и для меньшего значения т, приведенного на рис. 13.7. А вот следующее (казалось бы, незначительное) увеличение шага по времени приводит к катастрофе (рис. 13.10). Вместо ожидаемого решения получается совершенно неожиданные профили температуры, которые быстро осциллируют вдоль пространственной координаты, причем амплитуда и число пиков этих осцилляции быстро увеличиваются от шага к шагу. Совершенно ясно, что полученное решение не имеет ничего общего с физикой моделируемого явления, а является следствием внутренних свойств самой разностной схемы, которые до этого были для нас скрыты.



Содержание раздела