О численных методах решения систем уравнений

8.4. О численных методах решения систем уравнений

Если Вы решаете "хорошие" уравнения, как все те, которые были приведены в предыдущих разделах, то можете никогда не задумываться, как именно Mathcad ищет их корни. Однако даже в этом случае полезно представлять, что происходит "за кадром", т. е. какие действия совершаются в промежутке между введением необходимых условий после ключевого слова Given и получением результата после применения функции Find. Это важно хотя бы с позиций выбора начальных значений переменных перед вычислительным блоком. Рассмотрим в данном разделе некоторые особенности численных методов и возможности установки их различных параметров, которые предоставляет Mathcad.

Функция Find реализует градиентные численные методы. Покажем их основную идею на примере уравнения с одним неизвестным f(x)=o для функции f (х)=х2+5х+2, график которой показан на рис. 8.4. Основная идея градиентных методов состоит в последовательных приближениях к истинному решению уравнения, которые вычисляются с помощью производной от f (х). Приведем наиболее простую форму алгоритма, называемого методом Ньютона:

• За нулевую итерацию принимается введенное пользователем начальное значение хО=х.
• В точке хо методом конечных разностей вычисляется производная f'(х0).
• Пользуясь разложением Тейлора, можно заменить f (х) в окрестности хо касательной — прямой линией f(x)=f(х0)+f '(х0)(х-х0).
• Определяется точка x1, в которой прямая пересекает ось х (см. рис. 8.4).
• Если f (x1)<TOL, то итерации прерываются, и значение x1 выдается в качестве решения. В противном случае x1 принимается за новую итерацию, и цикл повторяется: строится касательная к f (х) в точке x1, определяется х2 — точка ее пересечения с осью х и т. д.