Метод продолжения по параметру

8.8. Метод продолжения по параметру

Решение "хороших" нелинейных уравнений и систем типа тех, которые были рассмотрены в предыдущих разделах этой главы, представляет собой несложную, с вычислительной точки зрения, задачу. В реальных инженерных и научных расчетах очень распространена более сложная проблема: решение не одного уравнения (или системы), а целой серии уравнений, зависящих от некоторого параметра (или нескольких параметров). Для таких задач существуют очень эффективные методы, которые называются методами продол-жения. Эти методы непосредственно не встроены в Mathcad, но могут быть легко запрограммированы с помощью уже рассмотренных нами средств. Будем далее говорить об одном уравнении, имея в виду, что всегда возможно обобщение результатов на случай системы уравнений.

Пусть имеется уравнение f (а,х)=0, зависящее не только от неизвестного х, но и от параметра а. Требуется определить зависимость его корня х от параметра а, т. е. х(а). Простой пример такой задачи был приведен в предыдущем разделе в листинге 8.18. Тогда нам повезло, и решение в общем виде было найдено с помощью символьных вычислений. Рассмотрим еще один, чуть более сложный пример, аналитическое решение которого также заранее известно, но с которым символьный процессор, тем не менее, не справляется. Обобщим задачу, добавив зависимость от параметра а следующим образом:

sin(ax)=0. (1)

Аналитическое решение этого уравнения находится из соотношения ах =Npi, где N=0,1,2,..., т е. имеется бесконечное количество (для каждого N) семейств решений xN=Npi/a. Несколько из семейств для N=1,2,3 показаны на рис. 8.10 тремя сплошными кривыми. Кроме того, следует иметь в виду, что для N=0, т. е. х=0, решением является прямая, совпадающая с осью х. Заметим (листинг 8.19), что символьный процессор Mathcad выдает в качестве решения только эту серию х=0.